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Küchenschubladenmathematik, oder: das Gesetz der großen (kleinen) Zahlen

Zahlen, Zahlen, Zahlen – wo man hinsieht, überall Zahlen. Mathematik bestimmt unser Leben, mit Mathematik wachsen wir auf, an Zahlen orientieren wir uns, mit Prozentwerten bemessen und vergleichen wir alles und jeden. Nicht überall taucht die Mathematik in ihrer vollen Klarheit auf, oft schleicht sie sich ganz unterschwellig in unser Leben. Die Hälfte hiervon, doppelt so viel davon und ein angemessenes Trinkgeld für den Taxifahrer oder Kellner und „Aufrunden, bitte!“ an der Supermarktkasse.

Veritas in numeris – die Wahrheit liegt in den Zahlen. Das gilt nicht erst seit Bitcoin, aber nun umso eindeutiger. Mit den wieder steigenden Kursen beginnt nun wieder die große Rechnerei – und was sich schon bei der temporären Mehrwertsteuersenkung in Deutschland gezeigt hat, tritt nun umso deutlicher zutage: das mit den Zahlen und den Prozenten ist gar nicht mal so einfach.   Fangen wir mit einem einfachen (aber völlig unrealistischen) Beispiel an, so zum Aufwärmen:

Du hast 100 Euro auf der Bank und bekommst 5% Zinsen pro Jahr (die älteren werden sich vielleicht an sowas erinnern, das gab’s tatsächlich mal). Also bekommst du am 31.12. des Jahres 5 Euro und hast nun 105 Euro. Super. Prozentrechnung – ha, easy!

Okay – wie viel Zinsen bekommst du im zweiten Jahr? Geht auch noch irgendwie, das sind …. öhm … 5,25 Euro, macht zusammen 110,25 Euro. Yeah! Und im dritten, vierten, x-ten Jahr? 

Was das Beispiel illustriert – Prozente sind super, solang es sich um runde Zahlen handelt. Mit Nachkommastellen wird es lästig, und krumme Prozente machen erst recht keinen Spaß – oder wie viel sind 0,28% auf 187,50 Euro? Der Vollständigkeit halber:  es sind 0,525 Euro, zur Vereinfachung auf 0,53 Euro aufgerundet.

Brutto? Netto? Hoch? Runter?

Bleiben wir bei der Prozentrechnung. Wir haben nun x% von Betrag y ausgerechnet, um eine Verzinsung darzustellen. Was aber, wenn die Prozente schon drin sind? Also wie bei der Mehrwertsteuer, die ist im Einzelhandel ja auch immer schon dabei. Aktuell sind das zum Beispiel bei Büchern oder Blumen 5%. Okay. Tun wir mal so, als würde ein Buch im Laden 100 Euro kosten (dicker Wälzer, Satoshis gesammelte Werke oder so), inklusive Umsatzsteuer. Mehrwertsteuer und Umsatzsteuer sind übrigens das gleiche, aber darum geht’s gar nicht. Inklusive der Steuern nennt man das Brutto, der reine Artikelpreis ist Netto. Kennst du vom Gehalt: Brutto ist mit, Netto ist ohne Steuern, weil die sind ja schon abgezogen.

Rechenbeispiel: Wie viel Steuern (Steuersatz =  5%) bezahle ich jetzt bei diesem Buch für 100 Euro? Haha, total einfach, 5% von 100 sind 5. Stimmt, ist aber falsch. Denn: Die Steuer war ja schon draufgeschlagen, die 100 Euro sind brutto – es sind also sozusagen die 105%, weil ja 5% auf 100% des Netto-Artikelpreises aufgeschlagen wurden. Ergo: 100% Netto-Artikelpreis plus 5% Steuern = 105% Brutto-Gesamtpreis. 

Jetzt andersrum: Um den Steueranteil rauszukriegen, rechnet man einfach die 100 Brutto-Euro durch 1,05 = 95,2380952 Netto-Euro. Die nun von den 100 abgezogen ergibt 4,7619048 Euro. Obwohl es 5% sind. Ja, aber eben 5% vom Netto-Preis, und der ist 95,2380952 Euro und nicht 100 Euro. 

Einige haben das noch nie verstanden, das hat sich bei der Corona-bedingten Mehrwersteuersenkung in Deutschland in lustigen Diskussionen mit den Verkäufern gezeigt. Darüber, dass da beim Preis ja nun ganz offenbar keine 3% abgezogen wurden, obwohl es doch hieß, man würde die Ersparnis voll weitergeben. Der (Brutto-)Preis eines Artikels, der vorher mit 19% MwSt. 100 Euro gekostet hat, hat sich nicht auf 97 Euro gesenkt, sondern auf 97,48 Euro. Betrug! Scam! Zeter und Mordio! Nö – Mathematik.

Ihr seht, es kommt darauf an, von wo aus ich bei der Prozentrechnung kalkuliere. Ein anderes Beispiel, das gerade letzte Woche in einer Diskussion zwischen zwei Journalisten sichtbar geworden ist:  Es ging um den Bitcoin und die Entfernung zum Allzeithoch. Machen wir es uns einfach und runden das hier, der besseren Deutlichkeit halber, etwas auf. Der Bitcoin hat ein All-Time-High von 20.000 USD. Jetzt sagte beim Kurs von 19.000 USD der eine, dass noch 5% fehlten, der andere, dass es 5,26% sind. 

Wer hat Recht? Mathematisch betrachtet beide.

  • Vom bisherigen Allzeithoch bei 20.000 USD aus gesehen, sind die 1.000 USD Differenz zum aktuellen Kurs von 19.000 USD genau 5%
    (Rechenweg: 1000 / 20.000 * 100 = 5)
  • Vom aktuellen Kurs gesehen 19.000 USD sind die 1.000 USD gerundete 5,26%.
    (Rechenweg: 1.000 / 19.000 x 100 = 5,2631578947368421052631578947368). 

Allerdings ist es üblicherweise so, dass die Entfernung zu einem Hoch stets von unten nach oben zu betrachtet wird. Es müsste also in diesem Beispiel richtigerweise von 19.000 auf 20.000 gemessen werden. Wenn hingegen der Abstand zu einem Tief gemessen (Preis B liegt tiefer als Preis A) werden soll, dann wird von oben nach unten gerechnet. 

Das 8. Weltwunder – ich hab’s gesehen!

Weiter im Text, kommen wir zum Dreh- und Angelpunkt der ganzen Geschichte: DIR. 

Zahlen sind unbestechlich und immer gleich, der Mensch ist das aber nicht. Homo sapiens interpretiert und leitet aus der individuellen Wahrnehmung immer die zum individuellen Mindset passenden Handlungen ab.

Der Mensch wächst mit seinen Aufgaben. Deshalb bekommst du jetzt eine neue Aufgabe von mir: Stell dir vor, du bekommst auf deine 1.000 Euro Investition (ob nun in Bitcoin, Aktien oder andere Assetklassen, ganz egal) eine Rendite von 10%. 

Kannst du dir das vorstellen? Klar kannst du. Okay – und wann hat sich dein eingesetztes Kapital verdoppelt? Spielen wir’s mit einem Kapitaleinsatz von 1.000 Euro mal durch:

ZyklusAusgangs-KapitalZins
in %
Zins
in €
Kapital
nach Zins
Kapital-Rendite
11.000,00 €10%100,00 €1.100,00 €10,0% 
21.100,00 €10%110,00 €1.210,00 €21,1%
31.210,00 €10%121,00 €1.331,00 €33,1%
41.331,00 €10%133,10 €1.464,10 €46,4%
51.464,10 €10%146,41 €1.610,51 €61,1%
61.610,51 €10%161,05 €1.771,56 €77,2%
71.771,56 €10%177,16 €1.948,72 €94,9%
81.948,72 €10%194,87 €2.143,59 €114,4%

Holla! Nicht nach zehn, sondern schon nach 8 durchläufen ist der Einsatz verdoppelt? Das ist der gute alte Zinseszins-Effekt. Es heißt, Einstein hätte ihn mal als das 8. Weltwunder bezeichnet, aber das ist vielleicht etwas über’s Ziel hinausgeschossen – es ist reine Mathematik.

So. Zurück zu dir. Lass mich mal kurz eine Vermutung machen: ich nehme an, du hast gerade in Zyklen von einem Jahr gedacht und dir das alles Sparbuch-mäßig vorgestellt. Richtig? Was aber, wenn der Zyklus kürzer ist und z.B. nur einen Monat dauert? Legen wir noch die letzten vier Zeilen nach, um das Jahr komplett zu machen.

ZyklusAusgangs-
Kapital
Zins
in %
Zins
in €
Kapital
nach Zins
Kapital-Rendite
92.143,59 €10%214,36 €2.357,95 €135,8%
102.357,95 €10%235,79 €2.593,74 €159,4%
112.593,74 €10%259,37 €2.853,12 €185,3%
122.853,12 €10%285,31 €3.138,43 €213,8%

Huch!? Die nächsten 100% schon nach weiteren vier Monaten? Hatte Einstein etwa doch Recht? Nö – immer noch nur Mathematik – nennt sich exponenzielles Wachstum und sieht auf einem Diagramm so aus: 

Zinseszins

Erst passiert lange nix und dann geht’s richtig ab. Aber Vorsicht – das täuscht! Denn die Phase mit dem „lange nix“ sieht nur so langweilig aus, weil die Steigerung nach hinten raus immer hefitger wird. 

An unserem Beispiel entlang betrachtet:

ZyklusAusgangs-
Kapital
Zins
in %
Zins
in €
Kapital
nach Zins
Kapital-Rendite
248.954,30 €10%895,43 €9.849,73 €885,0%
3628.102,44 €10%2810,24 €30.912,68 €2.991,3%
4888.197,49 €10%8.819,75 €97.017,23 €9.601,7%
60276.801,49 €10%27.680,15 €304.481,64 €30.348,2%

Und – sind 1.000 Euro Einsatz und fünf Jahre warten jetzt übermäßig lang? Okay, die 10% pro Monat, das geht bei Banken und Sparkassen auf lange Zeit nicht mehr. Vielleicht ja in anderen Assetklassen? 

Nein, ernsthaft nein. Solche Berechnungen sind völliger Unsinn und dienen hier auch nur der Illustration. Es gilt: Wer mit solchen Renditen um sich wirft, versucht euch zu bescheißen. Ganz einfach.

10% sind 10% – wen juckt’s?

Zurück auf den Boden der Tatsachen und zu deiner Aufgabe: Stell dir jetzt bitte mal vor, dein Investment hätte sich verzehnfacht – im Kryptomarkt nicht so wirklich ungewöhnlich. Der Kurs macht jetzt einen Move von 10% – auch das kommt oft genug vor. Auf einmal sind das Bewegungen, so groß wie dein Einstiegsinvestment … damit muss man umgehen können. Kannst du das? Wenn du 10.000 Euro investiert hast und der Kurs an einem Tag 10.000 Euro hoch und am nächsten wieder 10.000 Euro runtergeht? Mit diesem Skaleneffekt muss ein Investor leben lernen – womöglich geht’s ja sogar noch weiter hoch oder runter. 

Dein Mindset muss mit den Kursen wachsen, du musst (soll man ja nicht so sagen, du musst, aber sorry: du musst es wirklich) lernen, mit größeren Bewegungen klarzukommen, auch und vor allem, wenn es um große Summen geht. Ein Grund mehr, sich mit der Psychologie zu beschäftigen – der kluge Mensch baut vor. 

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Trade. Market. Mind.

An dieser Stelle ein kleines bisschen Werbung:

Unser Blog-Autor Thomas, auch bekannt als Decentrade, widmet sich in seinem Projekt Trade. Market. Mind. auf Medium genau diesem Themenbereich - dem Einfluss von Gefühlen auf Markt und Trader: Behavioral Finance und Tradingpsychologie.

Schaut doch mal bei ihm vorbei: 

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Kleines Schmankerl am Rande – weil auch mein Gehin da immer falsch abbiegt: 

100% sind eine Verdopplung, 200% eine – na? – genau: Verdreifachung. Wenn also jemand von 500% spricht, dann hat sich der Wert versechsfacht – im Kopf einfach „mal 5“ rechnen reicht nicht. Das will mir einfach nicht in die Birne – aber irgendwann lern ich das noch, ganz bestimmt.

Absolut versus Prozentual – die Macht der kleinen Zahlen

Gezählt wird in absoluten Zahlen, die Prozente werden nur errechnet, deswegen muss bei Vergleichen von Prozentwerten immer darauf geachtet werden, wie vergleichbar die Basis ist. 

Zum Beispiel bedeuten 10% Plus bei einer Ausgangsbasis von 10 einen Zuwachs genau 1. Da klingen 10% schon plakativer. Bei einer Basis von 100 ist der eine Zähler mehr nur noch 1% … nicht so beeindruckend, oder?

Wenn jemand mit einem Ausgangsgewicht von 140 Kilo 10% abnimmt, dann hat er hinterher 14 Kilo weniger – aber immer noch 126 Kilo, da geht noch was. Die gleichen 14 Kilo bei einem Ausgangsgewicht von 90 Kilo wären mehr als 15% Abnahme und 76 Kilo – die Person sollte langsam aufhören.

Merke: Prozentzahlen sind super, aber ohne Bezugspunkt nur die Hälfte wert – auf die Relation kommt es an. 

Bei Pennystocks gibt’s mehr für’s Geld?

Nein. Schlicht und ergreifend, Es bringt bei Investments nichts, einen Wert zu bevorzugen, nur weil er einen geringeren Einstandspreis als ein vergleichbarer anderer hat. Denn Prozente sind für alle gleich.

Wenn es darum geht, prozentualen Wertzuwachs für ein Investment zu erreichen, dann ist es lattenegal, ob das Asset 100 Euro oder 0,10 Euro kostet. Ob ich meine 1.000 Euro nun in 10 Stück hiervon oder in 10.000 Stück davon anlege – wenn die Assets beide um 5% steigen, dann ist mein Investment 1.050 Euro wert, so oder so. Deswegen ist unser Schnäppchenmach-Jäger-Gen (Huii, billig, billig!) durchaus kontraproduktiv – ein kleiner Preis hat nichts zu sagen und schon doppelt nichts zum Aufwärtspotenzial. 

Im Krypto-Umfeld auch gern als Argument gegen Bitcoin angeführt: Der ist schon so teuer, ich nehm lieber einen anderen Coin, der günstiger ist …

Äpfel, Birnen – merkste selbst, oder?

Über den Autor

Rolf Leder wurde 1972 in Hamburg geboren, wohnt aber seit rund 10 Jahren in der Nähe von Karlsruhe. Er ist einer der Gründer von Hallo Krypto! und geschäftsführender Gesellschafter der QualitiKs GmbH, einer Unternehmensberatung im Customer Service- und IT-Umfeld.

Rolf sorgt als Unterehmensberater hauptberuflich dafür, dass bei IT-Projekten die Anwender, die Fachanforderer und die IT eine gemeinsame Sprache finden. Mit Bitcoin, Kryptowährungen und der Blockchain-Technologie beschäftigt er sich seit 2016/17, zuerst aus privatem Interesse, seit 2019 gibt er sein Wissen in den Hallo Krypto!-Workshops weiter.

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